Τελ. ενημέρωση:
19-Sep-2000

Αρχ Ελλ Ιατρ, 16(4), Ιούλιος-Αύγουστος 1999, 394-402

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Λ. ΣΠΑΡΟΣ
Εργαστήριο Κλινικής Επιδημιολογίας, Τμήμα Νοσηλευτικής, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Λέξεις ευρετηρίου: Διαγνωστικές αξίες, Λόγος πιθανοφάνειας, Λόγος των οτζ, Λότζιτ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Η ευρεία χρησιμοποίηση της θεωρίας των πιθανοτήτων στην εφαρμοσμένη ιατρική έρευνα, ο συχνός μετασχηματισμός των στατιστικών πιθανοτήτων σε έννοιες που ο κλινικός αλλά και ο ερευνητής γιατρός δεν είναι οικείος, οδηγούν συχνά σε λανθασμένες ερμηνείες των ερευνητικών αποτελεσμάτων και σε λήψη θεραπευτικών ή και προληπτικών αποφάσεων που στερούνται επιστημονικής θεμελίωσης. Η ανάλυση των δεδομένων σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές με τη βοήθεια πολύπλοκων προγραμμάτων (στατιστικών πακέτων) έχουν οδηγήσει σε αποξένωση του κλινικού γιατρού, του μόνου υπεύθυνου στη λήψη αποφάσεων για τον άρρωστο, από βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην έρευνα.

Η ιδιαιτερότητα της πιθανολογικής εξήγησης, με τα εννοιολογικά και λογικά προβλήματα που παρουσιάζει, η συχνή παραβίαση των λογικών θεωρημάτων, όπως ότι «η αλήθεια της ακολουθίας δεν δηλώνει πάντοτε την αλήθεια του λόγου», έχουν οδηγήσει σε παράλογα ερευνητικά αποτελέσματα.^1,2

Από τους συχνότερα χρησιμοποιούμενους όρους στη διαγνωστική έρευνα είναι οι έννοιες του οτζ (odds)* και του λότζιτ (logit),** που θα επιχειρηθεί με απλό τρόπο η ανάλυσή τους.

2. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΤΖ

Η διατύπωση των πιθανοτήτων με τη μορφή των οτζ έχει διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς. Λέγοντας ότι ο επιπολασμός ενός νοσήματος Ν σ’ έναν πληθυσμό ισούται με 0,20, νοείται ότι κάθε μέλος του πληθυσμού έχει πιθανότητα 0,20 να πάσχει από το Ν ή, καλύτερα, ότι 1 στα 5 άτομα πάσχει και 4 στα 5 δεν πάσχουν από το Ν. Η πιθανότητα αυτή μπορεί να εκφραστεί λέγοντας ότι, στο συγκεκριμένο πληθυσμό, κάθε άτομο έχει πιθανότητα μία φορά να πάσχει και τέσσερις να μην πάσχει από το νόσημα Ν ή, με άλλη έκφραση, το οτζ υπέρ του νοσήματος Ν είναι 1 και κατά είναι 4 ή 1:4 ή 0,25.***

Εάν ένα συμβάν ή μια κατάσταση Ν έχει πιθανότητα να συμβεί p και επομένως η πιθανότητα να μη συμβεί είναι (1–p), τότε το οτζ υπέρ της Ν είναι ο λόγος (p/1–p).

Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα του πίνακα ή της μήτρας απόφασης με 4 κελιά (πίν. 1), όπου η ολική συχνότητα Ν είναι το άθροισμα των συχνοτήτων n₁ και n₂, που αντιστοιχούν στα άτομα που πάσχουν και στα άτομα που δεν πάσχουν από το συγκεκριμένο νόσημα, η δε εκ των προτέρων πιθανότητα ισούται με

Το οτζ υπέρ της μη ύπαρξης του νοσήματος ισούται με

Το ενδιαφέρον για τη μετατροπή των πιθανοτήτων σε οτζ προκύπτει από τη μεγάλη διευκόλυνση που παρέχουν στην εκτίμηση των διαγνωστικών (εκ των υστέρων) πιθανοτήτων, ιδιαίτερα στα αυτοματοποιημένα συστήματα υπολογισμών. Στον πίνακα 2 φαίνονται οι διακυμάνσεις των οτζ του p σε συνάρτηση με το p.

Εάν η εκ των προτέρων πιθανότητα του νοσήματος Ν είναι

τότε το οτζ της πιθανότητας αυτής είναι

Εάν η θετική διαγνωστική πιθανότητα ή θετική διαγνωστική αξία (ΘΔΑ) είναι

Ο λόγος των δύο αυτών οτζ ισούται με

Επομένως, το οτζ της ΘΔΑ=οτζ (p)xL=ΩxL

H τιμή της ΘΔΑ ισούται με το λόγο

Κατά τον ίδιο τρόπο, το οτζ της πιθανότητας του νοσήματος, εάν η κλινική εκδήλωση (Σ) απουσιάζει, ισούται με

οτζ P (N⁺Σ^–)=οτζ (p)xλ=Ωxλ

Το οτζ, τέλος, της αρνητικής διαγνωστικής αξίας (ΑΔΑ) (πιθανότητας) ισούται με

2.1. Παραδείγματα

α. Πιθανότητα της στεφανιαίας ανεπάρκειας σε συνάρτηση με την κατάσπαση του SΤ. Άνδρας ηλικίας 50 ετών παρουσιάζει άτυπα στηθαγχικά ενοχλήματα.⁴ Η εκ των προτέρων πιθανότητα στεφανιαίας ανεπάρκειας ισούται με p=0,59

Σε συνάρτηση με το μέγεθος της κατάσπασης του ST, οι εκ των υστέρων (διαγνωστικές) πιθανότητες φαίνονται στον πίνακα 3.

β. Παράδειγμα του χρόνιου αλκοολισμού σε συνάρτηση με το ερωτηματολόγιο CAGE. Αν η εκ των προτέρων πιθανότητα του χρόνιου αλκοολισμού σ’ έναν άρρωστο είναι 0,50, με βάση τον αριθμό των θετικών απαντήσεων στο ερωτηματολόγιο CAGE οι εκ των υστέρων διαγνωστικές πιθανότητες φαίνονται στον πίνακα 4.

Εάν ο άρρωστος απαντήσει θετικά μόνο σε μία ερώτηση, τότε η εκ των υστέρων πιθανότητα του χρόνιου αλκοολισμού δεν μεταβάλλεται. Εάν όμως η πιθανότητα του νοσήματος περιλαμβάνεται στο διάστημα 0,40–0,60, τότε μια δεύτερη δοκιμασία, όπως, π.χ. στην προκειμένη περίπτωση, η συγκέντρωση της γGT του ορού, θα προσφέρει το μεγαλύτερο προσδοκώμενο διαγνωστικό κέρδος. Εάν οι θετικές απαντήσεις είναι περισσότερες των δύο, τότε η διάγνωση του χρόνιου αλκοολισμού είναι σχεδόν βέβαιη.

γ. Παράδειγμα της καρκινικής φύσης ενός μονήρους πνευμονικού όζου. Η διαπίστωση ενός μονήρους όζου σε ακτινογραφία θώρακος σ’ έναν ενήλικα επιβάλλει άμεσα την αναγνώριση της νεοπλασματικής ή μη φύσης αυτού. Εκτός του επιπολασμού της κακοήθειας ενός τέτοιου ευρήματος στον πληθυσμό των ενηλίκων, για τη διαφοροδιάγνωση απαιτούνται (α) η ηλικία του αρρώστου, (β) το μέγεθος του όζου και (γ) η καπνισματική συνήθεια. Οι τρεις αυτοί παράγοντες θεωρούνται ως ανεξάρτητοι και εφαρμόζονται διαδοχικά. Εάν οι λόγοι πιθανοφάνειας είναι L₁, L₂ και L₃, το οτζ της πιθανότητας της καρκινικής φύσης της βλάβης, δηλαδή το οτζ της θετικής διαγνωστικής αξίας ΘΔΑ, ισούται με

οτζ ΘΔΑ=οτζ (p)xL₁xL₂xL₃

Στον πίνακα 5 φαίνονται οι λόγοι πιθανοφάνειας των τριών διαγνωστικών δεικτών.

Εφόσον και οι τρεις δείκτες είναι παρόντες συγχρόνως,

το οτζ (ΘΔΑ)=ΩxL₁xL₂xL₃=0,7x1,5x1,7x2,0=3,57

Επομένως, η πιθανότητα της καρκινικής φύσης του πνευμονικού όζου ισούται με

Η πιθανότητα αυτή μπορεί να θεωρηθεί επαρκής, ώστε ο γιατρός ν’ αποφασίσει να συστήσει στον άρρωστο την εκτέλεση μιας «επιθετικής» διαγνωστικής δοκιμασίας, όπως είναι π.χ. η θωρακοτομή.

2.2. Παραδείγματα χρησιμοποίησης των οτζ για δοκιμασίες που εφαρμόζονται συγχρόνως ή διαδοχικώς

α. Διαφορική διάγνωση ενός οξέος κοιλιακού πόνου. Σ’ έναν άρρωστο που παρουσιάζει από λίγες ώρες έντονο κοιλιακό πόνο συνοδευόμενο από τάση προς έμετο και έμετο, καθώς και από μέτρια πυρετική κίνηση, το πρώτο διαγνωστικό ενδεχόμενο είναι η οξεία σκωληκοειδίτιδα. Στον πίνακα 6 φαίνονται η θετική και η αρνητική πιθανοφάνεια τεσσάρων κλινικών ευρημάτων στην οξεία σκωληκοειδίτιδα (ΟΣ) και σε ψευδοσκωληκοειδιτικά σύνδρομα (ΨΣΣ).

Εάν η εκ των προτέρων πιθανότητα της ΟΣ είναι 0,33 (οτζ=0,50) και τα αποτελέσματα των κλινικών ευρημάτων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, τότε το εκ των υστέρων οτζ της ΟΣ όταν και τα τέσσερα ευρήματα είναι παρόντα, ισούται με

ΩxL₁xL₂xL₃xL₄=0,50x2,11x2,55x11,7x2,87=90,34

οπότε η πιθανότητα της ΟΣ ισούται με

Εάν μόνο τα δύο ευρήματα είναι παρόντα, τότε το οτζ της ΟΣ ισούται με

ΩxL₁xL₂xλ₃xλ₄=0,50x2,11x2,55x0,19x0,67=0,34

και η θετική διαγνωστική αξία με

Εάν κανένα από τα τέσσερα σημεία δεν είναι παρόν, τότε η εκ των υστέρων πιθανότητα της ΟΣ ισούται με 0,02.

Η κριτική, όσον αφορά την ορθότητα της εφαρμογής της μπαγιεσιανής λογικής στην παραπάνω περίπτωση, αναφέρεται στη μη ανεξαρτησία των τεσσάρων σημειολογικών ευρημάτων. Εντούτοις, παρά το μειονέκτημα αυτό, λόγω του μικρού αριθμού των ευρημάτων η μπαγιεσιανή ανάλυση αυξάνει την αποδοτικότητα της κλινικής διάγνωσης. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η απουσία ενός ευρήματος δεν σημαίνει έλλειψη πληροφορίας αλλά παρουσία «αρνητικής πληροφορίας», που μειώνει την a priori πιθανότητα του νοσήματος.

β. Θεραπεία ή μη μιας οξείας κυνάγχης. Για τον περιορισμό της άσκοπης χορήγησης αντιβιοτικών συνιστάται η χορήγησή τους μόνον εάν η διαγνωστική πιθανότητα της στρεπτοκοκκικής κυνάγχης είναι μεγαλύτερη από 0,50. Για τη λύση του προβλήματος με την μπαγιεσιανή μέθοδο απαιτείται η γνώση (α) της εκ των προτέρων πιθανότητας της στρεπτοκοκκικής κυνάγχης, που είναι έστω ίση προς 0,20, (β) των λόγων πιθανοφάνειας της καλλιέργειας υλικού από το φάρυγγα, που είναι έστω L=4,5 και λ=0,125. Για να είναι η εκ των υστέρων πιθανότητα της στρεπτοκοκκικής κυνάγχης ίση ή μεγαλύτερη από 0,50, το «διάστημα ασφαλείας» της καλλιέργειας του εκκρίματος θα πρέπει να κυμαίνεται από

Όταν, δηλαδή, η προ της δοκιμασίας πιθανότητα της στρεπτοκοκκικής κυνάγχη, περιλαμβάνεται στο διάστημα αυτό, το θετικό αποτέλεσμα της καλλιέργειας αυξάνει την εκ των υστέρων πιθανότητα πάνω από 0,50 και το αρνητικό αποτέλεσμα τη μειώνει κάτω από το 0,50, που αποτελεί τον «ουδό θεραπευτικής παρέμβασης», που επιλέχθηκε, και (γ) ορισμένου αριθμού συμπτωμάτων. Στον πίνακα 7 φαίνονται οι «διαγνωστικές ποιότητες» των τριών συνηθέστερων συμπτωμάτων της κυνάγχης.

Η ταυτόχρονη παρουσία των τριών κλινικών ευρημάτων δίνει θετική διαγνωστική αξία (ΘΔΑ) ίση προς 0,71, ενώ η παρουσία ενός εκ των τριών δίνει ΘΔΑ ίση προς 0,53. Εάν παρόντα είναι το πρώτο και το τρίτο και λείπει το δεύτερο εύρημα, η ΘΔΑ ισούται προς 0,34. Η διαγνωστική αυτή πιθανότητα διαφέρει πολύ λίγο από την εκ των προτέρων πιθανότητα (=0,20) και δεν δικαιολογεί τη σύσταση έναρξης χημειοθεραπείας. Εντούτοις, η τιμή 0,34 βρίσκεται εντός του «διαστήματος ασφαλείας». Επομένως, η θετική καλλιέργεια θα δώσει εκ των υστέρων πιθανότητα τουλάχιστον ίση προς 0,50. Προκύπτει, επομένως, ότι υπό τις συνθήκες αυτές η παραγγελία της καλλιέργειας είναι διαγνωστικά σκόπιμη.

Η απουσία και των τριών κλινικών ευρημάτων μειώνει την πιθανότητα της στρεπτοκοκκικής κυνάγχης από 0,20 σε 0,0138, που είναι μικρότερη από το κατώτερο όριο του «διαστήματος ασφαλείας» της δοκιμασίας. Η παραγγελία, επομένως, της καλλιέργειας υλικού από το φάρυγγα δεν δικαιολογείται, όταν απουσιάζουν και τα τρία κλινικά ευρήματα, γιατί το θετικό αποτέλεσμα δεν θα αυξήσει τη διαγνωστική πιθανότητα πάνω από το 0,50.

Συμπερασματικά, η παραγγελία της βιολογικής δοκιμασίας είναι άχρηστη και δεν δικαιολογείται όταν και τα τρία κλινικά ευρήματα είναι απόντα, αλλά και όταν και τα τρία είναι παρόντα.

γ. Επανάληψη της ίδιας διαγνωστικής δοκιμασίας. Ας υποτεθεί ότι μια δοκιμασία με ποσοστά αληθώς θετικά 100% και ψευδώς θετικά 20% εφαρμόζεται σ’ έναν άρρωστο για τη διαπίστωση ενός νοσήματος, του οποίου ο επιπολασμός είναι 1%. Η δοκιμασία αποβαίνει θετική και ο γιατρός επαναλαμβάνει τη δοκιμασία, που εκ νέου αποβαίνει θετική.⁴ Ποια είναι η πιθανότητα του αναζητούμενου νοσήματος;

Το οτζ της εκ των προτέρων πιθανότητας ισούται με 0,01/0,99=0,01 και ο θετικός λόγος πιθανοφάνειας με

Στην «αισιόδοξη» αλλά λαθεμένη υπόθεση ότι οι δύο δοκιμασίες είναι ανεξάρτητες, το οτζ της θετικής διαγνωστικής αξίας ισούται με 0,01x5x5=0,25 και η ΘΔΑ=0,20.

Σύμφωνα, όπως λέγεται, με την «απαισιόδοξη» υπόθεση ότι η επανάληψη της δοκιμασίας είναι πλεονασμός και δεν προσφέρει καμία συμπληρωματική πληροφορία, ο θετικός λόγος πιθανοφάνειας (L) της «δεύτερης δοκιμασίας» ισούται με 1 και το οτζ της ΘΔΑ με 0,01x5x1=0,05 και η ΘΔΑ=0,04.

Η πιθανότητα του αναζητούμενου νοσήματος περικλείεται μεταξύ 0,04 και 0,20. Εάν ο ουδός απόφασης περιλαμβάνεται μεταξύ των δύο αυτών ορίων, είναι φρόνιμο στη διαγνωστική έρευνα να προστεθεί μια νέα συμπληρωματική δοκιμασία.

3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΟΤΖ ΣΕ ΛΟΤΖΙΤ

Λότζιτ (logit) ονομάζεται ο νεπέρειος (φυσικός) λογάριθμος του οτζ (odds) του p.

Ο λογαριθμικός αυτός μετασχηματισμός παρουσιάζει ενδιαφέρον, γιατί επιτρέπει τη μετατροπή του τύπου του Bayes από γινόμενο παραγόντων σε άθροισμα λογαρίθμων. Με τη μορφή των λότζιτ χρησιμοποιήθηκε το θεώρημα του Bayes από τους Βρετανούς τεχνικούς κατά τη διάρκεια του B΄ παγκοσμίου πολέμου, για να αποκρυπτογραφήσουν τα απόρρητα μηνύματα του εχθρού.

Εάν lnL₁... lnLn είναι οι λογάριθμοι των θετικών λόγων πιθανοφάνειας, που αντιστοιχούν στα διάφορα διαγνωστικά ενδεχόμενα (ή, με άλλη διατύπωση, τα πληροφοριακά βάρη ή βάρη μαρτυρίας),* ο τύπος του Bayes παίρνει τη μορφή

ln οτζ της ΘΔΑ ή το λότζιτ της ΘΔΑ=logit (p)+lnL₁+...lnLn

Είναι σύνηθες ο λογάριθμος του λόγου πιθανοφάνειας (lnL) να χρησιμοποιείται με τη μορφή του «σκορ» (score) πολλαπλασιάζοντας επί 100, οπότε ο τύπος παίρνει τη μορφή

σκορ=100 λότζιτ (ΘΔΑ)=100 λότζιτ (p)+100 lnL₁+...+100 lnLn

Από τον τύπο αυτόν προκύπτει ότι

Η πρόβλεψη ή η πιθανότητα p να εμφανιστεί ένα συμβάν (ίαση, θάνατος ή επιπλοκή) κατά τη διάρκεια μιας ορισμένης χρονικής περιόδου σε συνάρτηση με ορισμένες μεταβλητές ή προγνωστικούς παράγοντες, απαιτεί τη χρησιμοποίηση της λογιστικής παλινδρόμησης.7,8

Για λόγους διευκόλυνσης των πράξεων, η πιθανότητα p εκφράζεται σε λότζιτ του (p). Αποδεικνύεται ότι η διαφορά (p₁–p₂) μεταξύ των δύο σειρών των αρρώστων σε συνάρτηση με έναν προγνωστικό παράγοντα, π.χ. μια θεραπεία, ισούται με το λογάριθμο του λόγου των οτζ

Ο μετασχηματισμός μιας μεταβλητής σε λότζιτ είναι επίσης χρήσιμος για τη διαγραμματική απεικόνιση με ευθεία γραμμή μιας συνάρτησης που παρίσταται με σιγμοειδική καμπύλη, όπως είναι π.χ. η καμπύλη που εκφράζει τη φαρμακολογική επίδραση ενός φαρμάκου σε συνάρτηση με τη δόση (εικ. 1). Η προοδευτική αύξηση της δόσης του φαρμάκου είναι εκθετική.

Το θεραπευτικό αποτέλεσμα σε συνάρτηση με τη δόση, εκτιμούμενο ως ποσοστό ευνοϊκών απαντήσεων, παρίσταται με σιγμοειδική καμπύλη (εικ. 1α). Ο μετασχηματισμός σε λότζιτ δίνει μια ευθεία γραμμή (εικ. 1β), που διευκολύνει τους υπολογισμούς.

4. ΛΟΓΟΙ ΤΩΝ ΟΤΖ

Στον παρακάτω τετράπτυχο πίνακα φαίνονται τα συνήθη σύμβολα σ’ ένα διαφοροδιαγνωστικό πρόβλημα με δύο διαγνωστικά ενδεχόμενα (N και Ν–) και μια δοκιμασία με δυαδικό αποτέλεσμα (Τ+ και T–).

Το οτζ της εκ των προτέρων πιθανότητας του νοσήματος Ν ισούται με

Το οτζ της εκ των υστέρων πιθανότητας του νοσήματος Ν, όταν το αποτέλεσμα της δοκιμασίας είναι θετικό, ισούται με

Το οτζ της εκ των υστέρων πιθανότητας του νοσήματος Ν, όταν το αποτέλεσμα της δοκιμασίας είναι αρνητικό, ισούται με

Ο λόγος του οτζ της εκ των υστέρων πιθανότητας προς το οτζ της εκ των προτέρων πιθανότητας του Ν ισούται με το λόγο της θετικής πιθανοφάνειας

και ο λόγος του οτζ του αρνητικού προγνωστικού σφάλματος (ΑΠΣ),* προς το οτζ της εκ των προτέρων πιθανότητας με το λόγο της αρνητικής πιθανοφάνειας

Ο λόγος των οτζ των δύο εκ των υστέρων πιθανοτήτων, όταν δηλαδή η δοκιμασία είναι θετική και όταν η δοκιμασία είναι αρνητική, λέγεται λόγος των οτζ (odds ratio) και συμβολίζεται με το γράμμα ω

Ο λόγος των οτζ των δύο αυτών εκ των υστέρων διαγνωστικών πιθανοτήτων ισούται με το λόγο των δύο λόγων πιθανοφάνειας (θετικού και αρνητικού) και άρα

Σύμφωνα με τα σύμβολα του τετράπτυχου πίνακα, ο λόγος των οτζ ισούται με

Ο λόγος των οτζ είναι ο λόγος των διαγωνίων γινομένων “ad” και “bc” (cross-product ratio). Ο λόγος αυτός δεν προσδιορίζεται όταν μία από τις συχνότητες b ή c είναι μηδέν. Εάν μία από τις τέσσερις συχνότητες (a, b, c, d) είναι πολύ μικρή, τότε ο τύπος που συνιστάται είναι

Είναι ιδιαιτέρως σημαντικό να τονιστεί ότι ο λόγος των οτζ δεν εξαρτάται (α) από την εκ των προτέρων πιθανότητα του νοσήματος στον πληθυσμό που μελετάται και (β) από την ολική συχνότητα (n₁+n₂).

Όπως αναφέρθηκε κατά το «κάθετο διάβασμα» του τετράπτυχου πίνακα, το οτζ της συχνότητας του θετικού αποτελέσματος στους πάσχοντες (Ν) ισούται με a/c και στους μη πάσχοντες (Ν–) με b/d και, τέλος, ο λόγος των δύο οτζ ισούται με

Σε μελέτες «ασθενών-μαρτύρων», ο μετασχηματισμός αυτός είναι εξαιρετικά χρήσιμος, αφού επιτρέπει τη μέτρηση της έντασης της σχέσης μεταξύ της παρουσίας ενός νοσήματος και ενός προσδιοριστή (παράγοντα κινδύνου) ή μεταξύ ενός σημείου, ενός συμπτώματος ή του θετικού αποτελέσματος μιας δοκιμασίας και της παρουσίας ενός νοσήματος.

Λόγος των οτζ ίσος προς 1 σημαίνει ότι L=λ=1 και άρα ότι η δοκιμασία στερείται διακριτικής ικανότητας. Το αποτέλεσμα, δηλαδή, της δοκιμασίας δεν συνδέεται με την παρουσία του νοσήματος. H σύνδεση δε είναι τόσο ισχυρότερη, όσο περισσότερο η τιμή του λόγου των οτζ αποκλίνει από τη μονάδα. Η σύνδεση ή η σχέση είναι θετική, όταν η τιμή του λόγου των οτζ είναι μεγαλύτερη της μονάδας και αρνητική εάν ο λόγος είναι μικρότερος της μονάδας.

Κατ’ αναλογία προς τους λόγους πιθανοφάνειας (L, λ), η πληροφορία που παρέχεται από το λόγο των οτζ συνδέεται με το λογάριθμό του, δηλαδή με το λότζιτ

δηλαδή το βάρος μαρτυρίας του L–βάρος μαρτυρίας του λ=προσδοκώμενη πληροφορία της δοκιμασίας Τ ή του μελετούμενου παράγοντα κινδύνου.

Όταν σε μια αιτιολογική μελέτη με κλειστό πληθυσμό η επίπτωση-ποσοστό του νοσήματος ή η συχνότητα μιας έκβασης είναι πολύ μικρή, ο λόγος a/a+b προσεγγίζει το λόγο a/b και ο λόγος c/c+d τον c/d. Υπό τις συνθήκες αυτές, ο λόγος των οτζ

αποτελεί πολύ καλή προσέγγιση της σχετικής επίπτωσης. Η ιδιότητα αυτή δικαιολογεί τη χρησιμοποίηση του λόγου των οτζ για την ποσοτικοποίηση της έντασης της σχέσης μεταξύ ενός παράγοντα κινδύνου (προσδιοριστή) και της επίπτωσης ενός νοσήματος.⁸

5. ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΤΩΝ ΟΤΖ

Το διάστημα εμπιστοσύνης (ΔΕ) του λόγου των οτζ υπολογίζεται σε λογαριθμική κλίμακα εκατέρωθεν του νεπέρειου λογαρίθμου της εκτιμηθείσας τιμής^4,8 (Ο)

Το 95% ΔΕ προσδιορίζεται από

– ένα κατώτερο όριο ίσο με: ln(Ο)–1,96xΠΣ (lnΟ)

– ένα ανώτερο όριο ίσο με: ln(Ο)+1,96xΠΣ (lnΟ).

Εάν οι απόλυτες συχνότητες του τετράπτυχου πίνακα είναι πολύ μικρές ή μία από αυτές είναι μηδέν, τότε το πιθανό σφάλμα του (O) ισούται με

Παράδειγμα

Οι διαγνωστικές ποιότητες της ενδοφλέβιας πυελογραφίας (ΕΠ) και του σπινθηρογραφήματος (ΣΠΝ) στην αναζήτηση στένωσης της νεφρικής αρτηρίας στα υπερτασικά άτομα φαίνονται στον πίνακα 8.⁴

Η σχέση μεταξύ της ύπαρξης στένωσης της νεφρικής αρτηρίας και του αποτελέσματος (θετικού ή αρνητικού) του ΣΠΝ εκφράζεται με το λόγο των οτζ (=51,2), που είναι περίπου δύο φορές μεγαλύτερος εκείνου της πυελογραφίας (=28,7). Η ποσότητα της προσδοκώμενης πληροφορίας από την εφαρμογή του ΣΠΝ εκφράζεται με δύο τρόπους: (α) από το «αναμενόμενο βάρος μαρτυρίας»* και (β) από το λογάριθμο του λόγου των οτζ των δύο δευτερογενών πιθανοτήτων του νοσήματος (Ν), όταν το αποτέλεσμα της δοκιμασίας είναι θετικό και όταν είναι αρνητικό. Με αμφότερους τους τρόπους, η ποσότητα της πληροφορίας είναι μεγαλύτερη με το ΣΠΝ.

Ο λογάριθμος του λόγου των οτζ μετρά άμεσα την έκταση της παρεχόμενης από κάθε δοκιμασία πληροφορίας. Η πληροφορία περιλαμβάνεται μεταξύ του βάρους μαρτυρίας του L (lnL) και του βάρους μαρτυρίας του λ (lnλ). Η έκταση της πληροφορίας που παρέχει η ΕΠ είναι, δηλαδή, ίση με ln (L)–ln(λ)=3,36=ln(ω) ή, πολλαπλασιάζοντας την τιμή αυτή επί 100, λαμβάνονται 336 συμβατικές μονάδες πληροφορίας, έναντι 394 μονάδων που παρέχει το ΣΠΝ.

Στον πίνακα 9 φαίνεται, για παράδειγμα, η παραγγελία σε 100 υπερτασικά άτομα ενδοφλέβιας πυελογραφίας και τα αποτελέσματά της.

Ο διορθωμένος, λόγω του μικρού αριθμού των περιπτώσεων σε ορισμένα κελιά, λόγος των οτζ ισούται με

Ο διορθωμένος λόγος των οτζ (Ο’) είναι πλησιέστερος προς τον «πραγματικό» (ίσος προς 28,7), παρά προς τον υπολογιζόμενο χωρίς διόρθωση (ίσος προς 32).

Ο λογάριθμος του (Ο΄)=ln26=3,26

Το πιθανό σφάλμα (ΠΣ) του λογάριθμου (Ο΄) ισούται με

Τα δύο όρια του 95% διαστήματος επιστοσύνης είναι

exp (ln26±1,96x0,79)=exp (3,26±1,55)

δηλαδή, το κατώτερο όριο είναι 5,5 και το ανώτερο όριο 122. Επειδή το κατώτερο όριο είναι μεγαλύτερο της μονάδας, συμπεραίνεται ότι το αποτέλεσμα της ΕΠ συνδέεται με την παρουσία στένωσης της νεφρικής αρτηρίας. Λόγω του μικρού αριθμού των παρατηρήσεων, το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι μεγάλο και περιλαμβάνει την τιμή του λόγου των οτζ του σπινθηρογραφήματος νεφρού.

6. ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΤΖ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΣΧΕΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ

Μια κοόρτη, δηλαδή ένας κλειστός πληθυσμός, 10.000 γυναικών παρακολουθείται για την εμφάνιση, π.χ., καρκίνου του τραχήλου της μήτρας σε συνάρτηση με την παρουσία ή απουσία ενός χαρακτηριστικού Ε. Όλες οι γυναίκες παρακολουθούνται το ίδιο χρονικό διάστημα και δεν υπάρχουν απώλειες. Τα αποτελέσματα της μελέτης φαίνονται στον πίνακα 10.

Στο σύνολο των δύο κοορτών (100 εκτεθειμένες στον παράγοντα κινδύνου και 9900 μη εκτεθειμένες γυναίκες) η επίπτωση-ποσοστό του καρκίνου του τραχήλου της μήτρας (ΚΤΜ) είναι 10/10.000=0,001. Η επίπτωση του ΚΤΜ στις εκτεθειμένες στον παράγοντα κινδύνου είναι 9/100=0,09 και στις μη εκτεθειμένες 1/9900, ο δε λόγος των επιπτώσεων ισούται με

Η ανάλυση θα μπορούσε να γίνει με «προβλεπτικές αξίες». Η πιθανοφάνεια της παρουσίας της έκθεσης, δηλαδή το ποσοστό των γυναικών με ΚΤΜ που έχουν εκτεθεί, ισούται με 9/10=0,9, ενώ η πιθανοφάνεια στις μη πάσχουσες ισούται με 91/9990=0,009 και ο θετικός λόγος πιθανοφάνειας με

και ο αρνητικός λόγος πιθανοφάνειας με

Γνωρίζοντας ότι η επίπτωση του ΚΤΜ και στις δύο κοόρτες είναι p=0,001, η πιθανότητα μια «εκτεθειμένη γυναίκα» να εμφανίσει ΚΤΜ ισούται με

Ενώ η πιθανότητα μια «μη εκτεθειμένη γυναίκα» να εμφανίσει ΚΤΜ ισούται με

Οπότε, η σχετική επίπτωση ισούται με

Γνωρίζοντας ότι ο λόγος ισούται με το λόγο των οτζ (ω), η σχετική επίπτωση σε συνάρτηση με τη συχνότητα του νοσήματος p μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η σχετική επίπτωση είναι μια συνάρτηση υπερβολής της επίπτωσης p και τείνει προς τη μονάδα, όταν η επίπτωση p προσεγγίζει τη μονάδα. Η σχετική επίπτωση καθίσταται ίση προς το λόγο των οτζ, όταν η επίπτωση του νοσήματος τείνει προς το μηδέν. Όταν η επίπτωση του νοσήματος είναι πολύ μικρή, η τιμή του λόγου του οτζ είναι όμοια με την τιμή της σχετικής επίπτωσης.⁴

7. ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΤΖ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΕΣ ΑΣΘΕΝΩΝ-ΜΑΡΤΥΡΩΝ

Όπως αναφέρθηκε, ο λόγος των οτζ είναι ανεξάρτητος της συχνότητας του νοσήματος και επομένως αποτελεί ένα ενδιαφέρον μέτρο για την εκτίμηση της σχέσης που συνδέει τον παράγοντα κινδύνου και το νόσημα που μελετάται. Τα αποτελέσματα μιας μελέτης «ασ θενών-μαρτύρων» φαίνονται στον πίνακα 11.

Ο έλεγχος της στατιστικής σημαντικότητας γίνεται με τη δοκιμασία x²

Η ένταση της σχέσης* της έκθεσης και του νοσήματος εκφράζεται από το διορθωμένο λόγο των οτζ (Ο΄), που ισούται με

Ο λόγος των οτζ προσφέρει μια καλή εκτίμηση της σχετικής επίπτωσης σε μια μελέτη ασθενών-μαρτύρων.^2,8,9

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. ΠΑΠΑΝΟΥΤΣΟΣ Ε. Λογική. Εκδόσεις Δωδώνη, Αθήνα, 1970
2. GREENLAND S. Probability logic and probabilistic induction. Epidemiology 1988, 9:322–332
3. MACARTNEY FJ. Diagnostic logic. In: Phillips C (ed) Logic in medicine. Publ by BMJ, London, 1988
4. GRENIER S. Evaluation de la decision medicale. Introduction a l’ analyse medico-ιconomique. Masson, Paris, 1996
5. CUMMINGS SR, LILLINGSTON GA, RICHARD RJ. Estimating the probability of malignancy in solitary pulmonary nodules. A Bayesian approach. Am Rev Respir Dis 1986, 134:449–452
6. STANILAND JR, DITCHBURN J, DE DOMBAL FT. Clinical presentation of acute abdomen: study of 600 patients. Br Med J 1972, 3:393–398
7. SACKETT DL, HAYNES RB, GUYATT GH, TUGWELL P. Clinical Epidemiology. 2nd ed. Little Brown and Co, London, 1991
8. ROTHMAN KJ, GREENLAND S. Modern Epidemiology. 2nd ed. Lippincott, Philadelphia, 1997
9. ΣΠΑΡΟΣ Λ. Η έννοια του λόγου των οτζ στην αιτιολογική έρευνα. Αρχ Ελλ Ιατρ 1997, 14:373–374